מתמטיקה
אבולוציה וטיפוח
אופטיקה
אזרחות
אימונולוגיה וירולוגיה ומיקרוביולוגיה
אנטמולוגיה
אסטרוכימיה
אסטרופיזיקה
אסטרופיזיקה ומדעי החלל
אפיגנטיקה
אקולוגיה
אקולוגיה ואבולוציה
אקלים וסביבה
ארכיאולוגיה
בוטניקה
ביוטופ, ביודע, ביוסיור, ביוחקר
ביוטכנולוגיה
ביוטכנולוגיה והנדסה גנטית
ביוכימיה
ביולוגיה
ביולוגיה - 1
ביולוגיה ימית
ביולוגיה מולקולרית
ביולוגיה סינתטית
ביופיזיקה
גיאוגרפיה
גנטיקה
הוראת המדעים
הזנה בצמחים ובבעלי חיים
היסטוריה
המרחב העירוני
הנדסה
הנדסה ומדעי המחשב
הנדסת חשמל
הנדסת מזון
התא- מבנה ופעילות
התנהגות בעלי חיים
וטרינרי
זואולוגיה
חינוך
חינוך ועבודה סוציאלית
כימיה
כימיה אורגנית
כימיה אנאורגנית
כימיה אנליטית
כימיה פיזיקלית
כלכלה
כללי
מבוא לביולוגיה של האדם
מבנה התא וגנטיקה
מדעי החברה
מדעי החיים / מדעי הטבע
מדעי הטבע
מדעי המוח
מדעי המחשב
מדעי הסביבה
מדעי הרוח
מדעי כדור הארץ
מדעי כדור הארץ והיקום
מדעים מדויקים
מוט"ב
מזרע לזרע
מיקרואורגניזמים
מיקרוביולוגיה
מערכת הובלה, נשימה, הפרשה והגנה
משפטים
מתמטיקה
נוירוביולוגיה
ננוטכנולוגיה
פיזיולוגיה ורפואה
פיזיולוגיה של הצמח
פיזיקה
פיזיקה גרעינית
פסיכולוגיה
פרקינסון
קטלאז
קינטיקה
קרקע ומים
רבייה
רעידות אדמה והתפרצויות געשיות
רפואה
רפואה ומקצועות הבריאות
רפואת שיניים
שאלות מבחינות בגרות
שאלות מחוץ לתכנית הלימודים
שאלות שאינן בתחום טיפולנו
שונות
תורשה
תזונה ובריאות
תנ"ך
תקשורת ויסות ותאום
שלום,
כשלמדתי אינטגרלים במסגרת חמש יחידות מתמטיקה למדנו שיש פונקציות שאין להם אינטגרל כלומר שהיא לא נגזרת של אף פונקציה איך מוכחים דבר כזה כמו בדוגמה של sinx/x?
שלום ליאם,
ראשית, אני מניח שכשאתה מדבר על אינטגרל של פונקציה, אתה מתכוון לפונקציה קדומה שלה – כלומר פונקציה שנגזרתה שווה לפונקציה הנתונה. במובן זה קיים "אינטגרל" לכל פונקציה רציפה בקטע. אבל "פונקציה" הוא מושג הרבה יותר רחב מאשר אותו מבחר של פונקציות המוכרות והשימושיות בעלות שאנו מרבים להשתמש בהן ונעזרים לשם כך בסימונים מיוחדים – כמו הפולינומים, הפונקציות הרציונליות, הפונקציות האלגבריות והפונקציות הטריגונומטריות וצירופיהן. כמו שלמדתם, בוודאי, גם הנגזרות של הפונקציות מהמשפחות הנ"ל נשארות באותה משפחה, אבל באינטגרציה אנחנו יכולים להגיע לפונקציות שאינן כאלו. במקרים מסוימים אלו פונקציות מעניינות במיוחד ושימושיות בפני עצמן, כמו הפונקציות הלוגריתמיות או הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות, שזכו לשם וסימון משלהן. אבל אם אין הכרח בכך, הן נשארות "אנונימיות". זה גורלו, בדרך כלל, של האינטגרל ששאלת עליו.
בברכה,
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
שלום רב!
א. מה ההבדל בין המושג ״חפיפה״ למושג "שיוויון״ ? מה בין ״קטעים חופפים״ ל ״קטעים שוים"?
ב. האם המושגים ״חפיפה" ו ״שיוויון״ הם מושגים יסודיים או מושגים מוגדרים?
תודה מראש.
שלום,
א. שוויון מתייחס לגדלים או לכמויות או לביטויים מתמטיים. חפיפה מתייחס לשטחים .
כיון שלקטע יש שטח 0 אזי יש הרואים בזה שטח ואומרים "חופפים", ויש שלא ואומרים "שווים".
ב. אלה מושגי יסוד .
פרופ' נדב לירון
מתמטיקה
הטכניון
שלום יצחק,
פרופ' דוד גילת
מדעי המתמטיקה
אוניברסיטת תל אביב
שלום רב
בבנות יש את שלושת העמילאזות
ראה את תפקיד העמילאזות בקישור הבא:
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%99%D7%9C%D7%90%D7%96http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A2%D7%9E%D7%99%D7%9C%D7%90%D7%96
בברכה
ד"ר עדנה פסיס
המחלקה לחקר תוצרת חקלאית
מכון וולקני
שלום,
ברצוני לדעת האם למטרת מציאת קו גובה בפונקציה:
ln(y-x)^2=0
אני רשאית מבחינת פעולות מתמטיות תקינות ראשית להקפיץ את ה-2 ללפני ה LN ואז לצמצם אותו ולהשאר עם הפונקציה :
2ln(y-x) =0
ln(y-x) =0
וכך בעצם אקבל משוואה פשוטה (ז"א קו גובה אחד) של .y=x+1
הבעיתיות שנתקלנו בה היא שחלק מהסטודנטים עשו את הפעולה הזאת ואם כי חלק נוסף ראשית העלימו את הln וקיבלו את המשוואה:
(y-x)^2=0
כך שהם קיבלו עבור המשוואה שני פתרונות שיצרו את 2 קווי הגובה y=x-1 ו y=x+1
האם הדרך הראשונה שהצגתי היא אכן נכונה מבחינת הפעולה המתמטית?
תודה מראש,
סבג עדן.
שלום לצוות האתר,
רציתי לדעת האם קיימת איזושהי נוסחא למספרים ראשוניים?
לפי
http://en.m.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes
לא קיימת נוסחא בצורת פולינום עם מקדמים שלמים.
האם פונקציה מסוג סינוס /קוסינוס וכו גם לא עומדים בקריטריון בגלל שניתן להפוך אותם לפולינום(אינסופי,לפי טור טיילור)?
ברק שלום,
שאלתך נענתה בעבר באתר ע"י מומחה. להלן קישור לתשובה:
http://www.bashaar.org.il/Question.asp?Question_id=4515
בברכה,
בשער ברשת
פרוייקט שאלות למומחים
בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
שלום..
משפט נתר מדבר על הקשר בין סימטריות בזמן ובמרחב לבין חוקי שימור האנרגיה והתנע, בהתאמה. אשמח לדעת איך 'רואים' את הקשר בין תכונת הסימטריה לבין תכונת השימור.
אשמח גם לקבל מקורות העוסקים ביחס בין שני היבטים אלה של החוק הפיזיקלי. אני מדגיש: העוסקים ביחס בין היבטים אלה, משום שהספרות העוסקת בסימטריה ו/או בשימור מוכרת.
תודה,
בנצי כהן.
שלום רב,
מידע על משפט נתר ניתן למצוא בקישור הבא:
בברכה,
פרופ' אבישי דקל
מכון רקח לפיזיקה
האוניברסיטה העברית
האם אפשר לקבל הסבר וקישורים למושג פרקטל? האם יש שימוש בתעשייה בתחום זה?
הבנתי שהנושא קשור לתורת הכאוס, האם זה נכון?
תודה,
נתנאל
נתנאל שלום,
בקישור הבא נמצאות התשובות לשאלותיך: http://www.snunit.k12.il/vmuseum/chaos/fractals/index.html
במידה ולאחר קריאת החומר יעלו שאלות נוספות נשמח לעזור.
בברכה,
בשער ברשת
פרוייקט שאלות למומחים
בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
שלום לכם
קודם כל תודה רבה על האפשרות לשלוח שאלות למומחים
אני סטודנטית שנה ג להתמחות בחינוך מיוחד ומתמטיקה
באחד הקורסים קיבלתי עבודה להכין פרזנטציה בנושא פונקציה הפוכה
אך לא הצלחתי להבין את המשמעות של הנושא
קראתי קצת שאלות ותשובות לגבי הנושא , אך לא כל כך ברור לי מה זה אומר וכיצד אני מוצאת פונקציה הפוכה
האם אמור להיות לי ידע קודם בגזירת פונקצית ועוד (לפי השאלות והתשובות שהתפרסמו)
אשמח לקבל תשובה מה אוכל לעשות
וכיצד ומאיפה אוכל ללמוד את הנושא לעומקו
תודה רבה רבה
עדי דמרי
שלום,
להלן קישור לתשובה: http://www.bashaar.org.il/Question.asp?Question_id=5774
בברכה,
בשער ברשת
פרוייקט שאלות למומחים
בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל
כיצד אפשר להסביר את המושג "יקום שטוח"? מה זאת אומרת שהוא שטוח, אם הוא מתפשט לכל הכיוונים באופן שווה?
יריב שלום,
עקמומיות המרחב (למשל שטוח או כדורי) ניתנת למדידה ישירה ע"י ניסויים מקומיים - כלומר בסקלות קטנות. לדוגמה, מדידת סכום הזויות של מצולע המורכב משלושה ישרים (שהגדרתם הכללית היא הקוים הקצרים ביותר בין שתי נקודות) - כלומר משולש מוכלל. במרחב שטוח הסכום הוא 180 מעלות, ואילו על פני כדור הוא גדול מזה. תכונה נפרדת של המרחב היא האם הוא סטטי, או משתנה בזמן (מתפשט או מתכווץ). גם במקרה שהיקום משתנה באופן אחיד, אפשר לחזור על הנסיון של מדידת הזויות במשולש, אלא שצריך לבחור משולש מספיק קטן כך שההתפשטות או ההתכווצות תהיה זניחה במהלך הזמן שלוקח ביצוע המדידה (הזמן הקצר ביותר האפשרי באופן תיאורטי הוא מסדר הגודל של הזמן שלוקח לאור לנוע לאורך היקף המשולש).
פרופ' טל אלכסנדר
פיסיקה של חלקיקים ואסטרופיזיקה
מכון ויצמן למדע
שלום.
מהו ההסבר המתמטי לכך שכל מספר בחזקת 0 יהיה שווה 1?
תודה
חיה
נתחיל את ההסבר מחזרה קצרה על ההגדרה של פעולת החזקה.
חזקה היא פעולת חשבון שכמו הרבה פעולות (כגון חיבור וכפל) שותפים בה שני מספרים שכתוצאה מהפעולה ביניהם מתקבל מספר שלישי.
אחד המספרים נקרא בסיס-החזקה והשני נקרא מעריך-החזקה.
אם המעריך הוא מספר שלם גדול מ-1 (2, 3, ...), ההגדרה של הפעולה היא – ריבוי הכפל, כלומר x בחזקת n באשר n>1 שווה למכפלה שיש בה n גורמים שכולם שווים ל-x. כך למשל אם בסיס החזקה הוא 3.5 והמעריך הוא 4 מתקבלת החזקה 3.5 בחזקת 4 השווה ל-
3.5x3.5x3.5x3.5= 150.0625
ברור שההגדרה הזאת אינה תופסת למעריך קטן מ-2. (כמו למשל x בחזקת 1 או x בחזקת 0 ) וגם x בחזקת מספר לא שלם או בחזקת מספר שלילי אינם מבעלי משמעות לפי ההגדרה הזאת.
כדי להרחיב את פעולת החזקה למעריכים 1, 0 ולמעריכים לא שלמים (שברים) או שליליים צריך לדאוג לכך שההגדרה שתינתן לא תעמוד בסתירה להגדרה של חזקה שהמעריך שלה שלם וגדול מ-1. אדרבה, ההגדרה צריכה להיות הרחבה של ההגדרה הנ"ל במובן שתהיה התאמה בין השתיים ושום דבר שכבר ידוע לא יתערער. מה ידוע?
ידוע למשל שאם כופלים x בחזקת n ב-x בחזקת m (באשר n>1, m>1) המכפלה שווה ל-x בחזקת n+m (למשל x3 x x5 שווה x8).
ואם מחלקים x בחזקת n ב-x בחזקת m (באשר n>1, m>1) המכפלה שווה ל-x בחזקת n-m (למשל
x5ל חלק ל- x3 שווה x2).
בנוסף לכך, נזכור גם שהמנה של שני מספרים שווים זה בזה היא 1 (בהנחה שהם לא אפס, למשל 4:4=1)
אם נחלק x בחזקת 3 ב-x בחזקת 3, מצד אחד ברור שהתוצאה היא 1 כי חילקנו שני מספרים שווים מאידך אם אנחנו רוצים שחוקי החזקות יחולו ללא הגבלה אז נקבל x3-3 היינו x0.
לכן על מנת שלא תיווצר סתירה מגדירים x בחזקת 0 כשווה ל-1
(באופן דומה מגיעים להגדרה של x בחזקת 1 כשווה ל-x ואת x בחזקה שלילת וגם x בחזקת שבר בהתאמה לחוקים החלים על חזקה שהמעריך שלה > 1)
שנה טובה
פרופ' נצה מובשוביץ-הדר
המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים
הטכניון
לפרופ עמיר שלום
תודה על התשובה המפורטת. בינתיים חשבתי על זה (הנושא של פונקציות הפוכות מעניין אותי מזה זמן רב) והגעתי למסקנה כללית: מאחר והשיפוע של פונקציה הפוכה שווה ל 1 חלקי השיפוע של הפונקציה המקורית (בנקודות שהן סימטריות יחסית לישר y=x) אז אם נתונה פונקציה יש דרך כללית למצוא את הפונקציה הפוכה: נגזור את הפונקציה הנתונה, נחשב את 1 חלקי הנגזרת, וכשנבצע אינטגרציה על הביטוי שיתקבל נמצא את הפונקציה ההפוכה. כדי לקבל פתרון יחיד מספיק להוסיף נקודה ידועה שהפונקציה ההפוכה חייבת לעבור דרכה . הפתרון הזה הוא אפשרי רק אם יש אינטרגרל לפונקציה שהיא 1 חלקי הנגזרת של הפונקציה המקורית. אני מניח שמישהו כבר חשב על הרעיון הזה כי הוא די שקוף, בכל מקרה אני מתכוון להוסיף את הרעיון של הפתרון הכללי הזה למאמר שאני כותב.
בהמשך לתגובה הקודמת :
הרעיון הכללי שהצעתי כאן לפני כשעה לא עובד
זה נכון שהשיפועים של פונקציה ושל פונקציה הפוכה הם מספרים הופכיים כאשר
בוחרים נקודות שהן סימטריות ביחס לישר
y=x
אבל אין להסיק מזה שאפשר למצוא בעזרת הנתון הזה את הפונקציה ההפוכה בפשטות על ידי גזירה , מציאת ההופכי של הנגזרת ומציאת אינטגרל של ההופכי של הנגזרת.
כלומר לא מצאתי דרך כללית למציאת פונקציה הפוכה
בברכה
עמוס
נכון שבנקודות בהן יש משמעות לפונקציה ולפונקציה ההפוכה ושתיהן גזירות בהן, ערכי הנגזרות הם מספרים הפכיים, אך זה אינו מביא לשיטה סבירה לחישוב נגזרת הפונקציה ההפוכה – אם
(y=f(x היא הפונקציה בה מדובר
אז (פרט למקרה הטריביאלי של פונקציה ליניארית)
בגזירת הפונקציה
f
תתקבל פונקציה של
x
וכדי לתרגמה לפונקציה של
y
ולבצע את האינטגרציה שהצעת, צריך לדעת את הפונקציה ההפוכה.
דן
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
שלום רב,
ברצוני ליצור פרקטל דמוי "אבק קנטור". במקום לחלק את הקו ל 3 אני מחלקת אותו ל7 חלקים, כך שנשארים 4 קוים.
איך אני מוצאת את המימד הפרקטלי שלו?
התשובה מופיעה בקובץ המצורף
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
תודה על תשובתך.
האם השגיאות מתפלגות נורמלית בכל סוגי ושיטות המדידה ?
תודה שוב,
בנצי.
לא ברור לי מה פירוש "כל סוגי ושיטות המדידה" . בכל אופן , אם חוזרים על המדידה באותה צורה וכל מדידה בלתי תלויה במדידות האחרות , אז ההנחה היא כי השגיאה מתפלגת נורמלית .
נדב
פרופ' נדב לירון
מתמטיקה
הטכניון
ממתמטיקה מכפלת תדר באורך גל שווה למהירות
f*lamda=V
בגל דה בורלי אורך הגל שווה לקבוע פלנק מחולק בתנע
התנע הוא מסת החלקיק מוכפל במהירות החלקיק
lamda=h/(P)=h/(m*V)
שאלה
לחישוב התדר בנוסחה הראשונה מה עלי להציב
את מהירות המסה
V
או את את מהירות האור
C
מהירות המסה
V
פרופ' דניאל ללוש
פיזיקה של חלקיקים
מכון ויצמן למדע
שלום.
השאלה מתייחסת לתהליכים אקראיים. ישנן מערכות בטבע (או מערכות טכנולוגיות, או אלקטרוניות לדוגמא), אשר מדגימות, מבחינה פיזיקלית, ממוצע של תוחלות של משתני המערכת, לעומת כאלה המדגימות תוחלת של ממוצע.
מתי, או באיזה מצבים, נכון המקרה הראשון, ומתי, השני ?
היש לזה קשר עם תלות בין המשתנים ?
לאיזה מהשניים שייך 'רעש' ?
תודה, בנצי.
זוהי שאלת 'אתגר' בגיאומטריה
שניסינו לפצח באחד הפורומים והעלינו חרס.
אניי שולח ללא ציור- הנתונים אינם מסובכים מאד- בסך הכל שני משיקים ושני חותכים כלשהם היוצאים מאותה נקודה חיצונית למעגל נתון
שני החותכים מקצים 4 נק' על היקף המעגל- כלומר מרובע חסום.
הפלא הוא ששתי נק' ההשקה ומפגש אלכסוניו של המרובע הלז תמיד תימצאנה על ישר אחד.
אפשר להפעיל כאן 'מכל טוב' ארגז הכלים הגיאומטרי - פרופורציות במעגל (מכפלת חלקו החיצוני של המשיק באורך המשיק כולו)
ואפילו במשפט מנלאוס ניסינו לשוא להיעזר.
האם דרוש כאן 'תותח' כבד יותר?
אני משער שניתן להוכיח ש מפגש האלכס' ו2 נק ההשקה הם על ישר אחד באמצעים אנליטיים/טריגונומטריים וקטורים???
מה השיטה הקלה ביותר?
תומר
האם הבעייה ניתנת להרחבה לכדורים?
פתרון השאלה באמצעים האלמנטריים של הגיאומטריה האוקלידית הידועים לתלמידי בית הספר התיכון אינו פשוט. פתרון חישובי ישיר אמנם אפשרי, אך הוא מייגע מאוד. מאידך, שימוש באמצעי הגיאומטריה הפרוייקטיבית הופך את הבעייה, באמצעות העתקה פרוייקטיבית מתאימה, לפשוטה ביותר. אך אינני מניח שזה יספק את השואל. אפשרות שלישית היא שימוש במושג הקוטביות בין נקודות וישרים ביחס למעגל נתון. לא אכנס לפרטים, אבל אתווה את הדרך:
נוכל להניח שהמעגל הנתון הוא מעגל היחידה שמרכזו O.
הנקודה A והישר a קטביים זה לזה (ביחס למעגל) אם a ניצב לישר AO בנקודה שמרחקה מ- O
הוא ההופכי למרחק AO. ברור שכל נקודה על המעגל קוטבית למשיק באותה נקודה. תכונות (לא קשות להוכחה) של הקוטביות הן: אם B היא נקודה על הישר a הקוטבי לנקודה A, אזי A
נמצאת על הישר b הקוטבי ל- B. הנקודה הקוטבית לישר הנקבע על ידי שתי נקודות היא חיתוך הישרים הקוטביים לנקודות אלו, והישר הקוטבי לחיתוך שני ישרים עובר דרך שתי הנקודות הקוטביות להם. אם
P נקודה מחוץ למעגל, אזי הישר הקוטבי לה עובר דרך שתי נקודות ההשקה של המשיקים למעגל העוברים ב- P.
הטענה שאנו רוצים להוכיח נובעת מיידית, באמצעות הקטביות, מהמשפט הבא: למרובע החסום במעגל, 2 נקודות מפגשי זוגות הצלעות הנגדיות ו- 2 נקודות מפגשי המשיקים בזוגות קדקודים הנגדיים נמצאות על ישר אחד. (הטענה שלנו נובעת ממשפט זה כיוון שנקודות מפגש המשיקים הן הקוטביות לאלכסוני המרובע).
את המשפט הזה אפשר למצוא בערך
Pascal's theorem בוויקיפדיה. שם הוא מובא כמקרה גבולי של משפט פסקאל על משושה החסום במעגל. (שם גם ישנה הפנייה להוכחה אלמנטרית למשפט פסקאל, שבדרך כלל מתקבל במסגרת הגיאומריה הפרוייקטיבית).
בברכה, דן עמיר
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
נניח שמדדתי במעבדה איזשהו גודל, לדוגמא, אורך, ויצא לי 2.5 ס"מ פלוסמינוס 0.1 ס"מ (שהיא השגיאה המוחלטת במרבית הסרגלים השימושיים). האם ההסתברות לקבל, למשל, 2.5001 ס"מ במדידה, שונה מההסתברות לקבלת, למשל, 2.49 ס"מ ?
אני משער שמרבית השגיאות תתרכזנה קרוב יותר לערך הממוצע, פשוט משום שסביר יותר לטעות 'קצת' מאשר 'הרבה'. שאלתי אז היא מהי צורת ההתפלגות ?
תודה, ושבוע טוב, בנצי כהן.
שגיאת המדידה מתפלגת סביב הערך הממוצע בהתפלגות נורמלית .
כדי לראות מהי התפלגות נורמלית , תקתק "התפלגות נורמלית " בגוגל והכנס לערך בוויקיפידיה .
נדב
מתמטיקה
הטכניון
שלום
האם קיימת פעולה מתמטית שאין לה פעולה הפוכה
??
בברכה
עמוס
לא מוגדרת "פעולה הפוכה" . כאשר מדברים על "פעולה הפוכה" מתכוונים לקבל את המקור ממנו יצאת . כך למשל , להפחית מ-5 את 3 , "הפעולה ההפוכה" היא להוסיף ל-2 את 3 כדי לקבל בחזרה את 5 . דבר זה קרוי "קבלת ההפכי " . ברור מכאן שאם אנחנו עוסקים בפונקציה שאינה חד-חד ערכית , ההפכי אינו יחיד ואין "פעולה הפוכה" לקבלת תוצאה יחידה . דוגמאות כמובן יש למכביר : אין הפכי יחיד לפעולת הערך המוחלט , אין הפכי יחיד להעלאה בריבוע וכד' .
נדב
פרופ' נדב לירון
מתמטיקה
הטכניון
בין המספרים הראשוניים יש מצב בו המספרים הראשוניים מופיעים בזוגות כלומר מספר ראשוני אחריו מספר זוגי אחריו שוב מספר ראשוני
דוגמה 11,12,13
השאלה:
כיצד מוכיחים שהמספר הזוגי בין שני המספרים הראשוניים שבאים בזוגות מתחלק תמיד ב-6
בכל סדרה של 3 מספרים שלמים עוקבים חייב להיות מספר אחד המתחלק ב-3 .
במקרה שלנו המספר בין שני המספרים הראשוניים ( שהם כמובן אי זוגיים ) הוא זוגי . הם כראשוניים אינם מתחלקים ב-3 , ולכן רק המספר ביניהם מתחלק ב-3 , ובסה"כ הוא מתחלק ב-6 .
פרופ' נדב לירון
הפקולטה למתמטיקה
הטכניון
!שלום רב
במסגרת הלימודים, למדנו בקורס 'פונקציות מרוכבות' אודות משוואות קושי-רימן, והכרח קיומן כתנאי לאנליטיות של פונקציה
ברור ממבנה המשוואות (בצורתן הקרטזית) שהן קשורות איכשהו לסיבוב (המקדמים יוצרים מטריצת סיבוב), אבל אני לא מצליח להבין מהי המשמעות (הגאומטרית, או כל משמעות אינטואטיבית אחרת) של זה
כמו כן (עם או בלי קשר לנ"ל), אשמח לקבל הבהרה בנוגע למשמעותה הגיאמטריות של תכונת האנליטיות, אך לא בהקשר של הגדרת התכונה, דהיינו של האפשרות לכתוב את הפונ' כטור טיילור באותה הסביבה
מקווה ששאלותי נוסחו בצורה ברורה דיה
!תודה מראש
שלום
רציתי לשאול על תכונות האליפסה בגיאומטריה האוקלידית, למרות שחומר זה אינו לבגרות של 5 יחידות לימוד, רציתי לדעת זאת ואם ישנם גם תכונות לפרבולה ולהיפרבולה גם בגיאומטריה האוקלידית אשמח לשמוע עליהם, תודה עדי
שלום עדי,
התכונות האוקלידיות של שלושת העקומים מתבטאות בכך שכל אחד מהם הוא מקום הנדסי של נקודות.
לגבי האליפסה – היא מקום הנדסי של הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור הוא גודל קבוע. התכונות האנאליטיות נובעות ישר מההגדרה הזאת. ניתן לקרוא מעט על הנושא בויקיפדיה העברית
:http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%A4%D7%A1%D7%94
לגבי הפרבולה: היא המקום ההנדסי של הנקודות שמרחקיהן שווים מנקודה קבועה במישור ומישר קבוע במישור. גם כאן אפשר למצוא משהו קצר בויקיפדיה
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94ולגבי ההיפרבולה: גם היא מקום הנדסי של נקודות – אלה הנקודות שההפרש בין מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור הוא גודל קבוע. עוד משהו בעברית אפשר למצוא בויקיפדיה העברית
: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%94%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%91%D7%95%D7%9C%D7%94שלושת העקומים האלה הם שלושה מחתכי החרוט. חתכי החרוט זהו נושא מרתק שאפשר למצוא עליו הרבה מאד באינטרנט. (באנגלית
: Conic sections)אני מקווה שזה עוזר
. בברכה,פרופ' נצה מובשוביץ-הדר
המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים
הטכניון
" שני ישרים הם מקבילים , אם הם ניצבים לאותו ישר "
אם זו הגדרה של ישרים מקבילים , האם ניתן להפיק מכך שאם שני ישרים הם מקבילים אז הם ניצבים לאותו ישר, למרות שלא היה כתוב בהגדרה אם ורק אם ?
בברכה ,
ריצ'רד
שלום רב,
המשפט המצוטט נלקח, כנראה, מספר הלימוד לכיתות ז' והוא משמש שם כהגדרה. בשפה המתמטית הלא-פורמאלית נהוג להסתפק במהלך הגדרה במילה "אם" או "כאשר" ולא בביטוי היותר מדויק "אם ורק אם" או "כאשר ורק כאשר", מה שלא ייעשה בשפה הפורמאלית או כשמדובר בטיעון מתמטי. הגדרה זו שונה מההגדרה המקובלת, אך שקולה לה.
בברכה,
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
מעניין אותי לדעת כיצד נעה פונקציה מהסוג cos(kx-wt) isin(kx-wt)
במרחב המספרים המורכבים
יהיה נחמד לקבל גם הצגה גרפית של המקרה
שלום עומר,
תשובה לשאלתך תוכל למצוא בקישור הבא:
http://www.bashaar.org.il/Question.asp?Question_id=3488
בברכה,
בשער ברשת
פרוייקט שאלות למומחים
"בשער - קהילה אקדמית למען החברה בישראל"
רציתי לדעת כיצד בדיוק נוצר תת לחץ בחלק העליון של כנף המטוס. ראיתי באינטרנט מספר הסברים אבל אף אחד מהם לא מסביר במדויק איך נוצר התת לחץ (וחלק מההסברים אפילו סותרים אחד את השני).
ההסבר "הנכון" לקיום עילוי על כנף הוא יצירת פילוג לחץ על חתך הכנף (בשל זרימת
האויר עליו). פילוג לחץ זה גורם לכח העילוי. הערתו של שי בדבר "תת-לחץ" בחלקו העליון של הכנף, נכונה. כוונתו היתה שהלחץ בחלקו העליון של הכנף נמוך מחלקו התחתון - זה אחד המאפיינים לאותו פילוג הלחץ שהזכרתי מקודם.כעת נותר להסביר כיצד נוצר אותו פילוג לחץ?
ההסבר המלא, הנכון והמקיף ביותר דורש את פיתוח משוואות הזרימה ופתרונן. יתכן
שהסבר זה לא נשמע כ"הסבר", אך יש לזכור שפתרון מתמטי של בעיות פיזיקליות הוא ההסבר הטוב ביותר שיודע המדע לתת לבעיות אלו.אין ברצוני להיכנס לנושא פיתוח המשוואות ופתרונן, רק אזכיר שקיימות דרגות שונות
של משוואות החל ממשוואות "מדוייקות" הנקראות:Navier-Stocks
ומשוואות העושות שימוש בקירובים גסים יותר כגון
:Euler Equation of Flow
אוPotential Flow
לא בכדי רשמתי את המילה 'מדוייקות' תחת גרשיים. יש להבין שהסבר פיזיקלי(שבבסיסו הוא מתמטי) לוקח בחשבון הנחות מהנחות שונות. נדירים המקרים בהם יש ניסוח מלא של הבעיה הפיסיקלית. במכניקת הרצף (התורה החוקרת בין השאר בעיות זרימה) קיימים עדיין פערים גדולים בין הידוע לנו לבין יכולתנו להסביר את התופעות.
אני מניח ששי מחפש אחר הסבר יותר "אינטואיטיבי" היכול לשפוך אור על התופעה מבלי
להיכנס לפרטיה המדוייקים. כל הסבר שכזה לתופעת העילוי יתקל בסתירות פנימיות אך אנסה לתת הסבר פשטני.אחת התופעות בזרימה נקראת חוק ברניולי (או משוואת ברניולי
):Bernoulli Equation
על פי משוואה זו ככל שמהירות זורם גבוהה, כך הלחץ אותו הוא מפעיל על משטח
,נמוך. חתך הכנף עושה שימוש בתופעה זו ובשל צורתו המיוחדת גורם לאויר בחלקו העליון להאיץ במהירות גבוהה מאשר בחלקו התחתון. לפיכך הלחץ על חלקו העליון של החתך נמוך יותר.כפי שהזכרתי, יש בהסברים פשטניים מגרעות רבות. כדי להיות הוגן אעלה שתי בעיות
עיקריות בהסבר שהבאתי:א. מדוע האויר מהיר יותר בחלקו העליון מאשר חלקו התחתון של החתך
?ב. משוואת ברניולי תקפה לזורם שאינו דחיס ואינו צמיג - האויר אינו כזה
.התשובה על השאלה הראשונה יכולה להינתן (כפי שנעשה במקרים רבים) על ידי מדידת
המרחק שעובר חלקיק בחלקו העליון של חתך כנף ובחלקו התחתון - אינני מחסידי הסבר זה, אך ניתן לקבלו כהסבר מקורב.התשובה על הבעיה השניה נובעת מהיותו של האויר גז בעל צמיגות נמוכה, ובמהירויות
נמוכות מספיק - לא דחיס.רוב התשובות ה"אינטואיטיביות" ברשת האינטרנט עושות שימוש בקירוב זה או אחר
ומציגות נוסח שונה של תשובתי.ניתן להעשיר את הידע בנושא על ידי קריאת חומר נוסף. קיימים ספרים רבים, רובם
באנגלית. אני יכול להמליץ על שני מקורות טובים בעיברית.1.
ספרו של דוד אביר, אוירודינמיקה, בהוצאת משרד הביטחון, 1986. ניתן למוצאו בספריות רבות.2.
חוברת הטיסנאות, בהוצאת קלוב התעופה לישראל. ניתן לרכוש את החוברת במחיר סימלי דרך משרדי קלוב התעופה לישראל שכתובת אתר הבית שלהם היא http://www.aeroclub.org.il/Default.aspבברכה,
ד"ר אוהד גור
הפקולטה להנדסת אווירונאוטיקה וחלל
הטכניון
שלום,
במסגרת לימודי נתקלתי בשאלה "מדוע אינסוף זה לא מספר"?
אז, מדוע זה לא מספר?
תודה, קרן
כדי לענות על שאלתך המסקרנת צריך קודם כל לתת לעצמנו דין וחשבון על מהו מספר, או ליתר דיוק מהי מערכת מספרים. המספרים הטבעיים 1, 2, 3, ... משמשים בראש וראשונה למנייה (ספירה) ולקביעת גודלן הכמותי של קבוצות (סופיות), למשל : בכתה שלי 34 תלמידים ובכתה המקבילה רק 27 . אך מערכת המספרים הטבעיים לא באה לביטויה המלא מבלי שמחילים עליה גם את פעולות החשבון (חיבור וכפל) ומתוודעים לחוקיהן.
אם חשקה נפשנו שפעולת החיבור תהיה הפיכה נרחיב את המספרים הטבעיים למערכת המספרים השלמים (חיוביים, שליליים ואפס) שבה אפשר גם לחסר שני מספרים כלשהם. כדי לקבל את הפעולה ההפוכה של הכפל – החילוק, הורחבה מערכת המספרים השלמים למערכת המספרים הרציונאליים, הם השברים הפשוטים. כפי שודאי ידוע לך יש גם הרחבות נוספות (מערכת המספרים הממשיים והרחבתה למערכת המספרים המרוכבים),
אך לא נזדקק להן בדיון זה.
בכל הרחבה מגדירים את פעולות החשבון באופן שחוקיהן הבסיסיים (למשל, חוק החילוף בכפל, האומר שתוצאת הפעולה לא תלויה בסדר הגורמים), במערכת הצרה יחולו גם על המערכת המורחבת. אחרת אין זו הרחבה מועילה. כפי שוודאי ידוע לך, אחד החוקים היסודיים של פעולת הכפל הוא חוק הקיבוציות (אסוציאטיביות) האומר:
(axb)xc = ax(bxc)
ומאפשר לנו לוותר על הסוגריים במכפלות של יותר משני מספרים.
ננסה עכשיו לצרף למערכת המספרים שלנו את ה"מספר" הנוסף "אינסוף" שנסמנו (בניגוד למקובל) ב-א (הסימן המקובל הוא מעין 8 שוכב, אך אני מבקש לחסוך מעצמי את טרחת התוכנה, ואתך הסליחה). מבלי להיכנס להתפלספות באשר למהות ה"אינסוף", אני מקווה שתסכיםי אתי ש"אינסוף" זה משהו כמו 1 לחלק ל-0 , אז הבה נגדיר את ה"מספר" א כפתרון המשוואה
0 times X= 1
זאת אומרת: 1 = א0 = 0א (חוק החילוף)
ועכשיו נראה מה קורה לחוק הקיבוציות של הכפל:
1 = א times 0 = א times (0 times 2) = (א times 0) times 2 = 1 times 2
= 2
קבלנו אם כן 2 = 1, וזו כמובן סתירה שאינה מתקבלת על הדעת.
כל ניסיון לצרף את "אינסוף" למערכת המספרים שלנו באופן שחוקי החשבון הרגילים יישמרו נידון מראש לכישלון. ה"אינסוף" הוא יצור שונה מהמספרים ה"סופיים" וחלים עליו חוקים אחרים. במובן הזה הוא איננו מספר. הייתי אולי מדייק ואומר ש"אינסוף" איננו מספר רגיל. אפשר לצרפו (יחד עם חברו הנגדי
"מינוס אינסוף") למערכת המספרים שלנו, ולצרכים מתמטיים מסוימים נוח לעשות כן, אך אז יש לזכור שחלים עליו חוקי חשבון מיוחדים (בפרט יש להימנע מהביטוי (אינסוף מינוס אינסוף) שאין אפשרות לתת לו מובן קונסיסטנטי (שאינו מוביל לסתירה). זה דומה לאיסור לחלק ב-0 במערכת המספרים הרגילה (ללא "אינסוף").
מושג האינסוף מקבל את מלוא משמעותו במתמטיקה בתורת הקבוצות שהיא הבסיס למתמטיקה המודרנית. כל הקבוצות שאנו נתקלים בהן במציאות הפיזית, כמו קבוצת כל בני האדם על פני כדור הארץ, או קבוצת כל הכוכבים ביקום, או אפילו קבוצת כל המולקולות ביקום – הן קבוצות סופיות. רק בדיונים פילוסופיים מופשטים, ובפרט במתמטיקה, אפשר לדבר על קבוצות שאינן סופיות (אינסופיות) למשל: קבוצת כל המספרים הטבעיים, או קבוצת כל הנקודות בתוך ריבוע (קטן ככל שיהיה). יתר על כן, תורת הקבוצות המתמטית מלמדת שיש גדלים אינסופיים שונים, כך למשל קבוצת הנקודות בתוך ריבוע או אפילו על צלע אחת שלו מכילה יותר (במובן שניתן להגדרה פורמאלית מדויקת) איברים מקבוצת המספרים הטבעיים ואפילו מקבוצת המספרים הרציונאליים. אך כל זה שייך לאופרה מרתקת אחרת.
מקום נוסף שבו אין מנוס מלהיתקל במושג ה"אינסוף" במתמטיקה הוא בתהליכים גבוליים ובקרובים: למשל כאשר מפתחים מספר ממשי אירציונאלי (כמו שורש של 2) לשבר עשרוני, או כאשר מקרבים עיגול ע"י מצולעים לצורך חישוב של המספר פאי (היחס בין אורך המעגל לקוטרו). אך גם זו אופרה מסוג אחר.
ואידך זיל גמור
פרופ' דוד גילת
מתמטיקה
אוניברסיטת תל אביב
שלום רב
רציתי לדעת מהיא הגדרתם של מספרים טרנספיניטיים,מהם פעולות האריתמטיקה המוגדרות עליהם,כיצד הם מאופיינים (אם בכלל)בצורה גרפית ומה הם השימושים שלהם במובן הפרקטי והתיאורתי
בתודה מראש
גלעד
לגלעד שלום.
השם "מספרים טרנספיניטיים" ניתן ע"י גאורג קנטור בסוף המאה ה-19, שהגה את הרעיון שניתן, ויש טעם, גם להשוות את גודלן של קבוצות אינסופיות. נזכור שהמספר חמש, למשל, הוא הדבר המשותף לכל הקבוצות שניתן להתאים אותן לאצבעות יד אחת בהתאמה חד-חד-ערכית, והמספר עשר – המשותף לקבוצות שניתן להתאימן חד-חד-ערכית לאצבעות שתי הידיים. קנטור הציע שנמשיך כך גם לקבוצות אינסופיות. המספר הטרנספיניטי הראשון, הנקרא 0א ("אלף אפס") הוא זה המתאים לסדרת המספרים הטבעיים. בין הקבוצות שמייצגות אותו, כלומר שניתן למנות את אבריהן: ראשון (מתאים ל-1), שני (מתאים ל-2) וכו' עד אינסוף, נמצאות – מלבד קבוצת המספרים הטבעיים עצמה, גם קבוצת המספרים השלמים או קבוצת המספרים הרציונאליים. קנטור הראה שמספר הנקודות על הישר הממשי גדול יותר, במובן שאף מנייה כזו לא תוכל למצות את כל הממשיים. כך קיבל מספר טרנספיניטי אחר, גדול יותר, שסימן אותו באות א ("אלף"). הוא הראה שלכל מספר טרנספיניטי כזה (היום מעדיפים להשתמש במונח: "עצמה אינסופית") קיים מספר טרנספיניטי גדול יותר. התורה שפיתח קנטור בהקשר זה נקראת "תורת הקבוצות" (set theory), והיא ממלאת תפקיד חשוב מאוד לא רק במתמטיקה המודרנית אלא גם בכמה משימושיה בפיסיקה. כדי ללמוד יותר לגבי שאר השאלות ששאלת, רצוי לקרוא באחד מספרי הלימוד בנושא.
בברכה, דן עמיר
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
לפרופסור דן עמיר שלום רב,
שאלתי התייחסה לעוצמת קבוצת הראשוניים המתקבלת מ"המכשיר" הנ"ל .
כך שהחלק הראשון של תשובתך לא כל כך מתייחס להשערתי. .
לגבי החלק השני של תשובתך, על פי משפט דריכלה התנאים ההכרחיים לא מתקיימים קבוצת המספרים הראשוניים המתקבלת מ"המכשיר" איננה מהווה סידרה חשבונית (סידרת ההפרשים שלה גם איננה חשבונית כי עלינו להוציא מהחישוב את הכפולות של 41
אשמח מאד אם תבהיר את העניין.
בתודה אבי.
לאבי שלום.
נכון שרק החלק השני של תשובתי התייחס ממש לשאלתך, ועליה התשובה נמצאת במשפט דיריכלה - הסדרה שעליה אתה מסתכל היא סדרה חשבונית המקיימת את תנאי המשפט - תנאים אלה מתייחסים לסידרה כולה, ולא רק למספרים הראשוניים שבה.
בברכה. דן
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
מה ההוכחה שכאשר במשולש סכום הזויות הוא 180 - מתקיימת אכסיומת המקבילים?
שלום רב,
מבחינה מסוימת השאלה "הופכת את היוצרות" .
ההוכחה שסכום הזויות במשולש הוא קבוע (ושווה 180 מעלות, אם משתמשים במעלות למדידת הזוויות) נשענת על אכסיומת המקבילים והמשפט הטוען שסכום הזוויות במשולש הוא גודל קבוע, נכון בגיאומטריה אויקלידית אשר מקבלת את אכסיומת המקבילים כהנחת יסוד. בגיאומטריות שבהן לא מניחים את אכסיומת המקבילים (גיאומטריות לא אוקלידיות) סכום הזוויות במשולש איננו קבוע והמשפט הנזכר אינו תקף. למשל בגיאומטריה "כדורית", שבה "קו" הוא מעגל שמרכזו במרכז הכדור, יש משולשים שבהם סכום הזוויות הוא אפילו 270 מעלות - המשולש הנוצר ע"י החיתוך של "קו המשווה" עם שני "קוי אורך" שניצבים זה לזה.
אם השואל לא "הפך את היוצרות" ואכן שאלתו היא כפי שנוסחה, אני מניחה שהכוונה היא שמניחים את המשפט על סכום הזוויות במשולש כאכסיומה במקום אכסיומת המקבילים ורוצים לנסות להוכיח את אכסיומת המקבילים כמשפט. אם אכן השואל התכוון לכך, אז השאלה היא מאד לגיטימית וכדי להשיב עליה יש לבנות צעד צעד את המשפטים השונים ולהוכיחם בהסתמך על אכסיומת סכום הזוויות הקבוע במשולש יחד עם 4 האכסיומות האחרות. זה "תרגיל אינטלקטואלי" מעניין שלא התפניתי לעשות אותו. ועם השואל הסליחה.
בברכה,
פרופ' נצה מובשוביץ-הדר
המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים
הטכניון
בהינתן K/F הרחבת גלואה, האם תמיד/אף פעם/מתי קיימת טופולוגיה שבה האוטומורפיזמים של חבורת גלואה הם פונקציות רציפות?
האם בכל משולש בגיאומטריה על כדור סכום הזוויות גדול מ- 180 מעלות?
אם כן, איך אפשר להוכיח זאת?
האם אפשר לקבל הסבר אינטואיטיבי שיועבר לתלמידים מוכשרים בכיתה ז?
תודה
שלום רב,
אכן, סכום הזוויות בכל משולש על פני הכדור גדול מ- 180 מעלות. דוגמה פשוטה היא, כמובן, משולש הנוצר על פני כדור הארץ על ידי קו המשוה ושני קוי אורך (הם ניצבים לו). אפשר גם להראות שכשמצמידים לפני כדור פינה של משולש גזור מנייר ומנסים להצמיד גם את הצלע השלישית שלו, היא "נדחקת פנימה" מהצלע השלישית של המשולש הספרי המתקבל ותופעה זו בולטת יותר כאשר המשולש גדול יותר יחסית לכדור.
ואכן, במשולש ספרי, "עודף" סכום הזוויות מעל 180 מעלות הוא פרופורציוני לשטח המשולש (גורם הפרופורציה תלוי ברדיוס הכדור). הוכחות חישוביות עלולות להיות קשות בכיתה ז. ההוכחה המתאימה ביותר שעולה בדעתי ברגע זה מוצגת באינטרנט על ידי Vladimir Georgiev בכותרת Spherical Trigonometry: Sum of angles of triangle in a sphere
בברכה,
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
שלום
לפונקציות רבות די קל למצוא את הפונקציה ההפוכה
למשל הפונקציה ההפוכה לפונקציה
y=2x
היא
y=x/2
מהי הפונקציה ההפוכה לפונקציה
y=x+1/x
נזכור ש"פונקציה" מספרית מוגדרת בתחום הגדרה מסוים, ושלכל מספר x בתחום ההגדרה היא מקבלת ערך מספרי אחד ויחיד y=f(x) (בתיאור הגרפי במישור xy זה אומר שלכל מספר x בתחום ההגדרה יש בדיוק נקודה אחת של הגרף הנמצאת בדיוק מעל (x. כדי שנוכל לדבר על פונקציה הפוכה ל- f, כלומר פונקציה האומרת לנו מאיזה x קיבלנו את y, נחוץ שלכל y בתחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה יהיה x אחד ויחיד המקיים y=f(x) . לכן, ראשית לכל, כדי שיהיה בכלל x
כזה, אנחנו יכולים להגדיר פונקציה הפוכה רק בתחום שמוכל בטווח של הפונקציה f, כלומר רק על ערכים שמתקבלים על ידי הפונקציה. אבל אנחנו צריכים לדאוג שיהיה רק x אחד כזה, כלומר ש- y יתקבל רק פעם אחת, וכדי לדאוג לזאת אנחנו לפעמים מצמצמים את תחום ה- x שבהם מדובר.
בדוגמה הראשונה שנתת, y=2x, אין שום בעייה: הפונקציה מוגדרת היטב לכל x , כלומר תחום ההגדרה הוא כל ישר המספרים, וכל y בישר המספרים מתקבל פעם אחת בדיוק. ולכן גם הפונקציה ההפוכה מוגדרת על הישר כולו, וקל למצוא אותה על ידי פתרון המשוואה. לעומת זאת, כשניקח את הפונקציה y = x בריבוע, יש לנו שתי בעיות: ראשית, מתקבלים רק הערכים האי-שליליים, ולכן נאלץ להגדיר פונקציה הפוכה רק על המספרים האי-שליליים, ושנית, כל ערך חיובי מתקבל פעמיים (ממספר חיובי ומהמינוס שלו), ולכן נוהגים להגדיר את הפונקציה ההפוכה רק עבור הפונקציה f
המוגדרת על הקרן החיובית, וזוהי פונקציית השורש הריבועי.
מציאת ביטוי אלגברי לפונקציה ההפוכה זוהי בעיית פתרון המשוואה. לא תמיד היא פשוטה, או אפילו ניתנת לחישוב.
במקרה שלך, הפונקציה y=x+1/x מוגדרת על כל המספרים השונים מ- 0. אבל הטווח הוא רק המספרים שערכם המוחלט אינו קטן מ- 2 – ורק על תחום זה ניתן להגדיר פונקציה הפוכה. שנית, כל המספרים שערכם המוחלט גדול מ- 2 מתקבלים פעמיים, ועל כן תידרש הגבלה נוספת שתבטיח יחידות.
כשנפתור את המשוואה הריבועית נראה שלכל y כזה יש שני פתרונות (ערכי פלוס-מינוס של השורש) ואנחנו יכולים לבחור, למשל, לקחת רק את ערך הפלוס, כלומר לצמצם את הפונקציה ההפוכה לתחום בו הערך המוחלט של x אינו קטן מ- 1.
אני מציע לך לשרטט גרף של הפונקציה כדי לראות מה קורה כאן – בדרך כלל אנחנו יכולים להפוך פונקציה בחלק של הגרף שבו הפונקציה רציפה ומונוטונית (כלומר, תמיד עולה או תמיד יורדת), כי שם לא רק שכל מקביל לציר y חותך את הגרף בנקודה יחידה (כמו שדורשת הגדרת הפונקציה), אלא גם כל מקביל לציר x חותך את הגרף בנקודה יחידה (כמו שדורשת הגדרת הפונרציה ההפוכה).
דן עמיר
פרופ' דן עמיר
מדעים מדוייקים
אוניברסיטת תל אביב
שלום.
להצגה מטריציונית של גדלים או אופרטורים פיזיקליים יש יתרונות ברורים על הצגה דיפרנציאלית.
שאלותיי הן שתיים:
א. שאלת מידע: פרטים על ספרות ומאמרים העוסקים בהיבטים אלה.
ב. מהי המשמעות של איברי המטריצות המייצגות, למשל, תנע זוויתי, או את רכיביו במרחב ?
בפרט, אני שואל לגבי המקרה הפרטי של המטריצות של ספין (מטריצות פאולי).
אין צורך להסביר מהם תנע זוויתי וספין. השאלה מתמקדת במשמעות של איברי המטריצה.
בברכה, בנצי כהן.
האם ניתן לחבר שאלת חקר עם שני משתנים בלתי תלויים
השאלה על מערך מחקר דו גורמי? האם אתם ממליצים ובאיזה מקרים
רציתי עוד מידע על סוג מחקר כזה
בתור התחלה מצאתי במאמר הבא
http://pitronot.biz/students/nisuy_rav_gormi.pdf
האם יש לכם הפניות לעוד מידע, כדי שארגיש בטחון לפני יישום זאת בכיתה
תודה
המורה לפיזיקה ממש בילבל אותנו היום בשיעור בנושא של התפרקות רדיואקטיבית.
הבנתי ממנו שמדובר בתהליך שהוא אקראי. כלומר לא ניתן לנבא מתי מתחילה ההתפרקות. לאחר שהיא מתחילה כמות החומר מתפרק באופן מעריכי. כאן משהו לא ברור לי!!! אם יש לי למשל 100 אטומים בלתי יציבים של אותו חומר רדיואקטיבי. אם ההתפרקות היא אקראית איך ניתן לנבא מהי כמות האטומים שתישאר לאחר פרק זמן מסויים? מה אני מפספס כאן? איך ניתן לומר שיש זמן מחצית חיים של חומר רדיואקטיבי אם תיאורטית ההתפרקות היא ספונטנית?
תודה על התשובה
דניאל
שלום דניאל,
התשובה לשאלתך נמצאת בתורת ההסתברות.
תורת הקוואנטים יודעת לומר בדייקנות מה ההסתברות ,שאטום מסויים יתפרק תוך זמן מסויים. הזמן שעבורו ההסתברות היא 50% נקרא זמן מחצית החיים. לגבי אטום בודד אין לנו כל אפשרות לדעת אם יתפרק עכשיו או בעוד שנה (אם זמן מחצית החיים הוא אלף שנה, למשל). אבל, כשמדובר במיליארדי מיליארדים של אטומים הנמצאים בגראם אחד של ראדיום, למשל, פועל החוק הסטאטיסטי של המספרים הגדולים. ניתן אז לומר בדיוק רב שכעבור זמן מחצית החיים תתפרק מחצית הכמות של הראדיום וישאר 1/2 גראם בלבד.
אגב, לפי אותו עיקרון פועלות חברות הביטוח כאשר אתה או הוריך מבטחים את עצמם בביטוח חיים!
בברכה
יששכר אונא.
פרופ' יששכר אונא
פיסיקה
האוניברסיטה העברית
2- המרחק בין העיר A והכביש הראשי L הוא 7 ק"מ ומרחק העיר B מאותו כביש היא 3 ק"מ המרחק בין שתי הערים הוא 13 ק"מ על הכביש L רוצים לבנותתחנת אוטובוס C. היכן יש למקם את התחנה C כך שסכום המרחקים יהיה מינימלי? הראה שסכום המרחקים המינימלי המקרה זה הוא 15 ק"ם.
3- במשולש ADC זווית C היא 90, יש קוו שעובר מנקודה A לצלע DC שנפגשים בנקודה B.
Aהוא בית הספר וB היא ביתו של התלמיד(חכם) D היא מגרש משחקים וC היא ברכת שחייה.
התלמיד יכול להגיע לבית הספר דרך מגרש המשחקים או דרך ביכת השחייה.המחק בין ביתו לבין ביכת השחיה הוא X ק"ם והמרחק בין בריכת השחייה לבית הספר היא Yק"מ.
המורה בקש מהתלמיד לנשות לאמוד את המרחק בין ביתו למגרש המשחקים כשהוא מגיע מחורת לבית הספר. התלמיד טען שאין צורך להמתין למחר. הוא טען שהמרחקים הנתונים מספיקים לו למצוא את המרחק בנדרש במדויק, הכיצד?
ברצוני לשאול כמה שאלות-
1)משפט השלמות של גדל קובע שאם לתורה עקבית יש מודל שמקיים את כל האקסיומות שלה אז היא עקבית. מה הכוונה של מודל זה?
האם אפשר להשליך את זה לדבר הבא-
רשימת תנאים לבניין חדש-
א)הבניין יהיה בעל 10 קומות
ב)הבניין יהיה בעל 12 קומות(שזה סותר,מן הסתם את סעיף 1)
ג)סעיף ב לא מתקיים
קיים מודל שמקיים את כל התנאים ביחד(1,2,3),ולכן הרשימה הזאת היא "תורה" עקבית.
האם מותר להגיד את זה והאם זו בכלל הכוונה?
2)כאשר מגדירים תחום חדש(כמו המספרים המרוכבים),איך יודעים שהוא רק מוסיף על הישן ולא סותר את הישן?כלומר מהווה הכללה?מהי השיטה שמשתמשים בה כדי להכליל דברים?
אשמח לקבל התייחסות לשאלות.
תודה רבה!
שלום רב לשואל/ת,
לפני שאתייחס לשאלותיך יהיה זה מועיל לעמוד בקצרה על ההקשר ההיסטורי
של עבודתו פורצת הדרך של KURT GOEDEL מ-1931 ועל השלכותיה מרחיקות הלכת
על ההתפתחות של המחשבה המתמטית והפילוסופיה בכלל.
המאה ה-18 ובעיקר ה-19 היו עדות להתרחבות עצומה של הידע המתמטי :
התבססות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי, פריצות דרך לעבר המבנים המופשטים (חבורות, שדות וכיו"ב)
של האלגברה המודרנית ויצירת תחומי מחקר חדשים ומקוריים, כגון תורת הקבוצות, ועוד כהנה וכהנה
שקצרה היריעה מלהזכירם כאן, ולא כל שכן - לתארם.
המאה ה-20 פוגשת את המתמטיקה לענפיה עם צורך דחוף לחקור את יסודותיה. סוגיות של קונסיסטנטיות
(העדר סתירה פנימית) עולות על פני השטח (למשל, הבעיה השנייה מתוך 23 הבעיות שהציג DAVID HILBERT בפני הקונגרס
הבינלאומי השני למתמטיקה שהתקיים בפאריס בשנת 1900 עסקה בקונסיסטנטיות של אכסיומות האריתמטיקה) ומתמטיקאים מובילים
ובראשם HILBERT קוראים למחקר שיעגן את המתמטיקה על יסודות מוצקים שבבסיסם מספר מצומצם עד כמה שאפשר של מושגי יסוד והנחות יסוד שמתוכם, באמצעות כללי לוגיקה שינוסחו אף הם באופן פורמאלי, אפשר להסיק את כל משפטי המתמטיקה ולהכריע (להוכיח או להפריך)
בכל סוגיה מתמטית עתידית. שלושת כרכי העבודה המונומנטאלית PRINCIPIA MATHEMATICA של BERTRAND RUSSELL & ALFRED WHITEHEAD
שהופיעו בשנים 1910-1913 היו ניסיון להיענות לאתגר זה. העיסוק ביסודות נתן דחיפה עצומה לפיתוח הלוגיקה המתמטית, הרבה מעבר לכללים הפשוטים של הלוגיקה האריסטוטלית, עד כדי הפיכתה לענף עצמאי של המתמטיקה עצמה.
למרבה ההפתעה, התקווה-שאיפה של HILBERT ואחרים נגוזה באחת ב-1931 עם הופעת מאמר התפנית של GOEDEL בכתב עת אוסטרי למתמטיקה (אגב, המחבר היה בן 25 בלבד באותה שנה, הוא נפטר ב-1978 בגיל 72). כדי לנסח במדויק את התוצאות של GOEDEL ולרדת למלוא עומקן יש צורך ברקע לא מבוטל בלוגיקה מתמטית ובמתמטיקה בכלל. לצרכים שלנו כאן נסתפק באופן בלתי נמנע בניסוחים הפשטניים הבאים:
1.
משפט אי-השלמות INCOMPLETENESS)) הראשון
כל מערכת פורמאלית שהיא רחבה במידה מספקת כך שבתוכה ניתן לבצע אריתמטיקה אלמנטארית, היא אי-שלמה: קיימות טענות המנוסחות בשפת המערכת
ובעלות מובן בה שאינן ניתנות להכרעה (אין אפשרות להוכיחן או להפריכן בתוך המערכת)
2.
משפט אי-השלמות השני
אין אפשרות להוכיח קונסיסטנטיות (העדר סתירה) של מערכת כנ"ל (אף כאשר היא אמנם קונסיסטנטית) בתוך המערכת עצמה.
אני חושש שניסוחים אלה לא אומרים לך הרבה, אך אין בידי להושיע במסגרת זו מעבר לכך שאציע לך לספק את סקרנותך בסוגיות סבוכות אלה
על ידי פנייה לספרות רלוונטית, שתוכל למצוא למשל ברשת האינטרנט (הקש, למשל, GOEDEL ב-GOOGLE).
ועתה לשאלותיך:
אני מקווה שעכשיו ברור לך שהניסוח שלך למשפט של GOEDEL (שמשום מה אתה קורא לו "משפט השלמות" במקום אי-השלמות)
הוא מוטעה. יתר על כן, עליך להחליט אם אתה עוסק בתורה שהיא עקבית מלכתחילה או שאתה בונה מודל המוכיח את עקביותה.
ב"מודל" כאן הכוונה למבנה מתמטי שבו מתקיימות כל האכסיומות של התורה. למשל, המישור (האוקלידי) המוכר לנו מהווה מודל עבור הגיאומטריה המישורית של אוקלידס ומאשש את הקונסיסטנטיות של האכסיומות של תורה זו.
הקשר ל"דבר הבא" שלך הוא רופף, אם בכלל.
כל מה שניתן להגיד על שלושת הסעיפים של "הדבר הבא" שלך
הוא שמטעמים לוגיים פשוטים הם קונסיסטנטיים. אמנם (א) ו-(ב) סותרים זה את זה, אך מאחר ש-(ג) הוא השלילה של (ב) וזו האחרונה קונסיסטנטית עם (א), הרי שלושתם יחד הם קונסיסטנטיים.
עם זאת, יש להבין שלא כל שלושה פסוקים קונסיסטנטיים מהווים "תורה".
באשר לסוגיה השלישית שאתה מעלה: כאשר מרחיבים תחום מספרים אחד לתחום רחב יותר (טבעיים לשלמים, שלמים לשברים, שברים לממשיים, ממשיים למרוכבים), ההרחבה אינה שרירותית, אלא היא נעשית כך שהתכונות של התחום המצומצם יותר, כשמסתכלים על אבריו כעל אברי התחום המורחב, יתלכדו עם תכונותיהם הקודמות, והוא הדין לפעולות החשבון. למשל, בהרחבה שומרים על חוק הפילוג של הכפל לגבי החיבור
((x(y+z) = xy+xz. או: כפל בין שברים
מוגדר כך שאם במקרה שני הגורמים הם מספרים שלמים (הנחזים כשברים) המכפלה תהיה זהה לזו שהייתה מתקבלת אילו
בצענו את הפעולה מלכתחילה בתחום המספרים השלמים. זה מבטיח את הקונסיסטנטיות של ההרחבה.
אין שיטה מופשטת "להכליל דברים" ואין לצפות שתהיה כזאת. הכל תלוי בטיב "הדברים" ובאופי ההכללה הרצויה.
אני מקווה שספקתי מענה לחלק מתהיותיך ומאחל לך הצלחה בהמשך עיוניך.
דוד גילת
פרופ' דוד גילת
מדעי המתמטיקה
אוניברסיטת תל אביב
שלום לך ,
הוא המשתנה X עבור המשוואה הבאה , כאשר
והאות השניה היא הפרמטר :
X=3/a
האם צריך להגיד א) או ב) (לפי הפירוט הבא ,
א) עבור הערך אפס של הפרמטר , אין פתרון למשוואה הנתוננה
ב) אין ערך של הפרמטר , עבורו אין פתרון למשוואה הנתונה
תודה מראש .
ריצ'רד
בדרך שבה מוצג העניין x רשום כבר באופן מפורש כשווה למנה 3/a. כל התייחסות לשבר כזה מצריכה הסתייגות מראש שa שונה מ-0.
אגב, לא בריא ל"זרוק" משוואה בלי הקשר לשום דבר ועוד להציע תשובות לשאלה שלא נשאלה. כראוי
למשל שאלה יכולה להיות:
מהו הערך או הערכים של xהפרמטר a (מספר ממשי) שעבורם x מוגדר היטב אם ידוע ש- x=3/a?
התשובה לשאלה זו היא לכל מספר ממשי a השונה מאפס.
אם השואל מתכוון לשאול: מהו הפתרון של המשוואה ax=3 כאשר a, x ממשיים, (מקובל במקרה זה שהסימון x הוא של הנעלם והסימון a הוא של הפרמטר) אזי הפתרון הוא x=3/a לכל a השונה מ-0, אם a=0 למשוואה אין פתרון. צריך להבין שגם a וגם x שניהם "משתנים"- כאשר a משתנה מקבלים סדרה של משוואות כגון 2x=3, 3x=3, 17x=3, (1/2)x=3.
לכל משוואה כזאת יש פתרון חוץ מאשר למשוואה 0x=3. כאשר a קבוע עדייןX
משתנה ובמקרה שלפנינו רק מנת החילוק של 3 בערך המסוים של a במשוואה המסוימת שאותה פותרים, הוא הפתרון למשוואה. כל ערך אחר של x אינו מקיים את השוויון ולכן אינו מהווה פתרון למשוואה.
חג שמח
נצה
פרופ' נצה מובשוביץ-הדר
המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים
הטכניון
שלום!
במסגרת הניסיון לתאר תופעות פיזיקליות, אנו מבצעים פיתוחים מתמטיים. לעיתים אנו פוסלים פתרונות למתקבלים כיון שהם "לא פיזיקליים". ישנם מיקרים בהם מובן לי כיצד ניתן לעשות זאת - לדוגמא, בפתרון מד"ר ומד"ח שמתארות תופעות, אנו מתעלמים מפתרונות בעלי תנאי התחלה של זמן שלילי, כיוון שזה חסר ערך פיזיקלי. לעומת זאת, ישנם מיקרים בהם לא מובנית לי ההתעלמות מהפתרונות שמתקבלים, לדוגמא, כאשר הפתרון גורר התבדרות. איזו מניעה פיזיקלית ישנה להתפתחות תהליך כזה (בד"כ התשובה שניתנת היא, שתקבל מערכת עם אנרגיה איסופית וכדומה, מה שבלתי אפשרי-אך לפחות תיאורטית-מדוע?).
ניסוח אחר לשאלה אינו מצידנו, המתעלמים מהפתרונות, אלא מצד מערכת הטבע עצמה - כיצד היא יכולה "להרשות לעצמה" שלא להתאים לתיאור המתמטי של הבעיה, אלא ל"תיאור פיזקלי" (שהוא פיקציה שנוצרה בדיוק לשם כך)
תודה מראש! מקווה שהצלחתי להבהיר את כוונתי בשאלה.