שלום לכם!



קודם כל אני חייב לציין שנורא אהבתי את הרעיון של האתר.כל הכבוד ליוזמי הרעיון.



עכשיו לשאלה-







עלתה במוחי שאלה שהטרידה אותי קצת לגבי היסודות של המתמטיקה-







כאשר אני מגדיר איזשהי פעולה מתמטית חדשה איך אני יודע שהיא לא תוביל לסתירות?כמו למשל אם a,b טבעיים אז a*b הכוונה היא a פעמים b או להיפך.כך הגדרנו את זה למספרים טבעיים.אבל אם נקח למשל את מינוס a פעמים b זה לא מוגדר כרגע,ולכן עלינו להניח שזה שווה ל-מינוס ab רק כדי שזה יתאים להגדרות הקודמות על מספרים טבעיים.איך אני יודע שהנחה זאת לא תוביל לסתירות?







עוד שאלה בסגנון זה-

א

אם נגדיר אפס כ-a-a=0 אז מהנחה זאת ניתן להגיע מתמטית לכך ש- a(0)=a(a-a)=aa-aa=0 אבל את ההיפך,כלומר 0 פעמים a לא ניתן להגיע בצורה מתמטית(או לפחות ממה שניסיתי) ולכן אנו שוב מניחים שזה שווה לa פעמים 0,כלומר 0.שוב,איך אנו יודעים שההנחות לא יסתרו דברים רק בגלל שאנחנו רוצים שהם יתאימו לחוקים האינטואיטיביים שלנו??







תודה רבה רבה על התשובה!אשמח לקבל תשובה רצינית משום שבסיס טוב מוביל לעץ גבוה.